谁能想到看来不起眼的高尔夫球中竟会蕴含许多数学奥秘呢？高尔夫球的生产厂家采用多种多样的凹点分布图案，几乎所有这些图案都是高度对称的。而这正是数学大有用武之地的地方。晶体学家们运用这同一类数学知识来分析晶体点阵的对称性。
对称性和凹点的多少是有关系的，因此高尔夫球有幻数个凹点--比如 252，286，332，336，360，384，392，410，416，420，422，432，440，480，492和500个四点--的情形多于其他数目四点的情形。所有这些凹点数都能在市售高尔夫球上找到。有一厂家曾生产过有1212个四点的高尔夫球，不过那不是真正用来打的，只是为了显示该厂家制造高尔夫球的技术如何高明而已。
凹点必须以相当均匀的方式分布在整个高尔夫球的表面上。否则高尔夫球在飞行时往往会突然转向，因为空气阻力与回点的密度有关。这样，设计高尔夫球的问题就同把微小的圆盘均匀地分布在一个球的表面上这一数学问题密切联系起来了。但是，也有一些实际的因素必须考虑。特别是，高尔夫球是由两个半球模压成的，因此任何情况下都必定至少有一条"分界线"，即球面上不经过任何一个凹点的大圆。为了确保空气动力平衡，高尔夫球的大多数设计方案都采用一对称布置的多条伪分界线。这些线条是了解高尔夫球的对称性的极好线索。
在通常的语言中，"对称性"一词的用法是相当含混的，一般指某种东西排列得很匀称或巧妙。在数学上，对称性的定义要严密得多。它不涉及形状，而是涉及变换，即移动某个图形的数学规则。如果物体在经过变换之后与其变换之前的形状完全重合，那么此变换就是该物体的一种对称性。例如，正方形有8种对称性（不考虑弯曲或拉伸之类的变形），这8种对称性包括（逆时针）旋转90度，180度和270度，以及关于正方形的轴线或对角线的镜面反射。第8种对称性是所谓"平凡"变换，它使正方形映射到自身。
一个物体的所有对称性构成一个"群"：如果连续施行两种对称变换，其结果也是一个对称（称为这两个对称变换的复合或积）。例如，如果把正方形旋转90度后再旋转180度，那么结果就是旋转了270度，这也是该群的一个元素。这一"群性质"是我们之所以要引人平凡对称性的理由之一。如果把平凡对称性略去不计，则两种对称性之积就可能不属对称性之列了。例如，旋转90度与旋转270度之积为旋转360度。由于旋转360度的结果是正方形的每一点又回到其原来位置，因此这不过是平凡对称性的另一种说法而已。
群的结构使我们可以把对称物体分为不同的类型。如果两个物体的对称变换群有相同的抽象结构，则它的对称类型就是相同的。比如说，一个正方形和另一个四个角被弄圆了的正方形就属于同一种对称类型。
在二维和三维空间中，最重要的对称类型是旋转和反射。二维空间中的旋转就是使物体绕着一个固定点转动某一角度。在三维空间中则是使物体绕着一根固定轴转动某一角度。二维空间中的反射是交换在一根固定的"镜面反射轴"两侧处于相似位置上的两个点，三维空间中的反射也是进行这种交换，但用固定的反射面代替了反射轴。
对称群的一个重要特征是它的阶，即它包含的不同对称变换的数目。这样，正方形的对称群的阶就是8。三维空间中的对称性最高的物体中包括人们熟知的5种正多面体，即正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。它们的对称群的阶分别为：
·正四面体（有4个三角形的面）：24
·立方体（有6个正方形的面）：48
·正八面体（有 8个三角形的面）： 48
·正十二面体（有 12个五边形的面）： 120
·正二十面体（有 20个三角形的面）： 120
在每种情况下，对称群的阶数都等于其面数的2倍再乘以每一面的边数。例如，正十二面体的阶数为 2×12×5＝ 120。这一关系是这些立体的规则几何形状所造成的结果。为了看出其原因，可以选择某一个面：转动正十二面体，就可以选择它的12个面中的任何一面。在使这一面保持不动的同时，可以使正十二面体旋转到5个位置中的任何一个上。这样就得到12×5 = 60种旋转对称性。但是选定的这个面也可以在进行旋转前被反射，因此使得对称性的数目又翻了一番，最终达到120。
注意立方体和正八面体有相同的对称阶数，而正十二面体和正二十面体的对称阶数也相同。这是对偶性的结果。正八面体各面的中点构成一个立方体的顶点，而八方体各面的中点也构成一个正八面体的顶点。这就意味着正八面体和立方体有相同的对称群。正十二面体和正二十面体的情况也是一样的。
三维空间中对称群的最高阶数并不是120。然而，超过120阶的三维对称群必定有无穷多种对称性。但是，由于四点的数目有限，因此一个有四点的高尔夫球的对称群其阶数必定为有限，这样它的对称性阶数最多只能为120。
当然，高尔夫球的四点数目可以大于120。早期高尔夫球采用两种不同的设计图案。在第一种图案中，四点沿着与赤道分界线平行的纬度线排列，通常有392个凹点，这种高尔夫球具有五重旋转对称性，其对称轴为穿过高尔夫球的南极和北极的轴线，但由于某些莫名其妙的原因，常常去掉了8个四点（b）。第Th种图案的对称类型与正八面体相同。正八面体是由8个等边三角形构成的（例如把两个底面为正方形的棱锥底对底拼起来就可以得到正八面体）。典型的正八面体高尔夫球（C）有336个四点和3条分界线，这些分界线彼此相交成直角，就像地球的赤道与零度及90度上的两根经线一样。
一种更深奥的设计方案具有二十面体的对称性及6条分界线。一个二十面体由20个等边三角形构成，每个顶点上有5个三角形。在建筑物的网格球顶（如雷达设施的顶部）以及许多病毒的蛋白单元中也可发现此类结构。例如，腺病毒就有252个蛋白单元，排列成一个"二十-十二面体"，其各面为正六边形或等边三角形，每个顶点上有5个面。Uniroyal公司生产的一种高尔夫球正好就是这种结构（e）：说来也怪，它的252个凹点是五棱锥的形状。
1973年，Titleist公司推出一种高尔夫球（f）。乍看起来它的形状为二十面体。但它的对称性是不完整的。制作的第一步是作成正二十面体，使凹点填满每个三角形面。但是这一特殊的排列方式没有分界线，因此把沿赤道的一行四点折起来，使其间出现一道清晰的间隙。这种图案破坏了二十面对称性。但却得出了一种完全实用的高尔夫球。
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